Mapa wybiera parlament
Rzeczywistość nie sprzyja dokonywaniu społecznych wyborów. Jesteśmy pełni wewnętrznych sprzeczności. Na przykład brak nam przechodniości naszych preferencji. Wolimy lody od czekolady i czekoladę od bananów, ale wybralibyśmy banany zamiast lodów.
W polityce jest nawet jeszcze gorzej. To jaką decyzję wybierzemy nie zależy od naszych preferencji, ale od systemu głosowania. Niestety jest jeszcze gorzej. Załóżmy, że mamy ustalone, niezmienne preferencje i system oddawania głosów. Ostatecznie wynik głosowania będzie zależał od tego, jak na mapie narysujemy podział okręgów wyborczych. Wszyscy głosujemy tak samo, a na końcu mapa wybiera nam reprezentanta. Czy statystyka może pomóc wykryć takie manipulacje wyborcze?
Keneth Arrow (Uniwersytet Columbia) w 1951 udowodnił, że już przy 2 głosujących i trzech możliwościach wyboru nie możemy spełnić jednocześnie trzech uznawanych za sprawiedliwe warunków. Pierwszy, jeżeli wszyscy preferują A ponad B, to A powinno być wybrane ponad B. Drugi, jeżeli preferencje pomiędzy A i B się nie zmienią, podczas gdy preferencje pomiędzy innymi opcjami mogą się zmieniać, to A powinno być preferowane ponad B. Trzeci, nie ma „dyktatora”, w tym sensie, że żaden pojedynczy głosujący nie może zawsze mieć decydującego głosu.
Zainspirowani powyższym, Borix Alexeev i Dustin Mixon (Uniwersytet w Ohio) w 2017 roku podobne twierdzenie udowodnili dla „gerrymanderingu”, czyli rysowania podziału okręgów wyborczych. Pokazali, że nie istnieje podział na okręgi, który spełnia trzy cechy. Pierwszą, że dystrykty mają prawie tyle samo głosujących. Tym samym reprezentantów będzie proporcjonalnie do wyborców. Drugą, że spełnia warunek na zwartość powierzchni, czyli za mniej zmanipulowane uznajemy kwadraty i okręgi niż węże i ośmiornice. Innymi słowy zależy nam na zachowaniu odpowiedniego stosunku średnicy do powierzchni wyznaczonej przez krawędzie (test Polsby Poppera). Trzecią dotyczącą efektywności partyjnej, czyli warunku testującego, czy jeżeli dana opcja ma dużo głosów na całej powierzchni „kraju”, to czy będzie też miała dużo głosów po podziale na okręgi.
Gerrymandering to temat ważny zwłaszcza w USA. Z arbitralności podziałów i możliwości przerysowywania granic okręgów korzystają lokalni politycy. Sprawiedliwej reprezentacji ich głosów domagają mieszkańcy. Sprawy związane z niesprawiedliwym wyznaczaniem okręgów lądowały w Sądzie Najwyższym między innymi przez podziały w Północnej Karolinie (Cooper vs Harris) czy Alabamie (Allen vs Milligan). Stan Arizona wymusza, aby podział okręgów spełniał test Polsby Poppera. Colorado wymusza, aby podział zawsze był konkurencyjny. Żeby podział był konkurencyjny, oczekiwany zwycięzca nie może mieć głosów spoza przedziału 46% a 54%. Takie oczekiwania można wyznaczyć na podstawie historycznych wyników. Zaś stan Virginia wymaga, aby różnice pomiędzy populacjami regionów nie były większe niż 1%.
Statystycy postanowili wynaleźć test, który badałby, biorąc pod uwagę założenia, czy mapa została narysowana losowo, czy ktoś manipulował jej granicami. Te mapy, podziały okręgów, które są niezwykle nieprawdopodobne np. przy spełnieniu testu Polsby-Poppera, najpewniej są wynikiem manipulacji. Główną przeszkodą w konstrukcji takiego testu jest fakt, że sposobów narysowania mapy dzielącej ludzi jest bardzo dużo. Benjamin Fifield, Michael Higgins i Kosuke Imai (Uniwersytet Princeton) w 2014 zaproponowali metodę opartą o reprezentację mapy jako grafu i próbkowania różnych grafów na podstawie symulacji Monte Carlo. Praca zapoczątkowała rozwój sprawnego testowania map. Kolejne usprawnienia w procesie symulowania grafów zaproponowali Daryl DeFord Moon Duchin Justin Soomon (Washington, Tutfs, MIT) w (2019) roku. Ich praca została wykorzystana przy przerysowywaniu granic w Colorado. Kolejnych odkryć dokonali Cory McCartan i Kosuke Imai (Princton) w (2020). Następnie Kosuki Imai i Cory McCartan wraz z zespołem w 2022 opublikowali w Nature pracę, która pozwala symulować i analizować podziały okręgów dla wszystkich 50 stanów w zależności od wybranych parametrów.
Głosujemy arbitralnie, ale równie arbitralnie zliczamy głosy i rysujemy okręgi wyborcze. Poprzez wykorzystanie gerrymandering wszyscy głosują tak samo, ale w zależności od zmiany granic wynik może być inny. Na szczęście dzięki najnowszym odkryciom statystyki, możemy świadomie decydować o kształcie granic i własnościach okręgów, a także być świadomym, czy rysując wyborczą mapę, ktoś nami nie chce manipulować.